脉冲成形

参阅链接：https://blog.csdn.net/Insomnia_X/article/details/126324735

https://mp.weixin.qq.com/s/c57j1kZxI_db25GhSrN5hA

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OFDM的各子载波需要脉冲成形？

数字调制过程

$$I(t)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}I_n\delta(t-nT_s) \\ s(t)=I(t)\times g(t)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}I_ng(t-nT_s)$$

$g(t)$为成形脉冲信号。

1.接收信号处理中的两个问题：

• 带外泄露

  选择不同的成形滤波器，得到的信号频谱是不同的

• 码间串扰

  脉冲成形后，基带信号=时域上不同时刻的一系列脉冲信号的叠加，如果一个码元 / 脉冲 达到最大幅值时，其他所有码元幅值刚好为0，则在此时进行采样判决，码元直接不会相互影响，这就是无码间串扰

  Nyquist准则：

  $$g_s(t)=g(t)\sum^{\infty}_{n=-\infty}\delta(t-nT_s)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}g(nT_s)\delta(t-nT_s)=\delta(t) \\ G_s(w)=\frac{1}{T_s}\sum^{\infty}_{n=-\infty}G(w-\frac{2\pi n}{T_s})=1$$

  要满足Nyquist准则，脉冲成形函数$g(t)$ / 基带信号$s(t)$的的最小带宽为

  $$B_0 \geq \frac{1}{2T_s}=\frac{R_s}{2}$$

  2.所谓脉冲成形

  想要在信道中真正传输数字信号（如01比特），必须将它们转化为一定的电路波形 / 脉冲信号，称为脉冲成形；

• 理论分析中可以用矩形脉冲，但实际中均为类似sinc的脉冲，由升余弦滚降滤波器生成

  • 矩形脉冲没有 ISI 问题，但有带外泄漏，而使用类似sinc的脉冲可以同时解决ISI和带外泄漏问题

    $${\cal{F}}[rect(\frac{t}{K})]=K sinc(\tau K)$$

    上式中，$K$表示脉冲宽度（单位为s）

    

    矩形脉冲

  • 用sinc脉冲会进一步导致PSK / QAM调制得到的波形，并不是标准的余弦波（这对应于由矩形脉冲生成的理想波形），然而我们在实际中并不需要关注调制后的波形如何，只要关注波形解调后对于sinc脉冲的采样判决，后面将看到，sinc脉冲能很好的降低码间串扰

    • sinc脉冲成形对应的基带滤波器是理想LPF，是不可能实现的
    • 理想的LPF是非因果滤波器（冲激响应在时域上有无限长的拖尾，当前输出取决于未来输入）
    • 衰减速度慢，要求采样精度更高

  • 升余弦滚降滤波器

    使用「升余弦滚降滤波器RC」来逼近理想的LPF，并且能够控制脉冲的拖尾衰减速度

    

    $$h(t) = \frac{\sin(\pi t / T)}{\pi t / T} \cdot \cos\left(\frac{\pi \beta t}{T}\right) / \left(1 - (2 \beta t / T)^2\right) \quad (t \neq 0) \\ h(0) = \frac{1}{T} \left(1 + \beta \left( \frac{4}{\pi} - 1\right)\right)$$

    其中，$T$是符号周期，$\beta$是滚降因子

    频域响应为

    $$H(f) = \begin{cases} 1 & |f| \leq \frac{1 - \beta}{2T} \\ \frac{1}{2} \left(1 + \cos\left(\frac{\pi T}{\beta} \left(|f| - \frac{1 - \beta}{2T} \right)\right)\right) & \frac{1 - \beta}{2T} < |f| < \frac{1 + \beta}{2T} \\ 0 & |f| \geq \frac{1 + \beta}{2T} \end{cases}$$

    • 主瓣：滤波器的中心部分是主瓣，幅度较大，通常在0时刻达到最大值。

    • 滚降部分:在主瓣的两侧，幅度逐渐衰减，形成滚降区域。滚降的程度由滚降因子（β）决定，β的取值范围为0到1。

      • 当 β = 0 时，滤波器呈现理想低通滤波的特性。

      • 当 β = 1 时，滤波器的滚降部分最大化，导致信号带宽增大。

• 接收端收到基带的脉冲信号，进行采样判决，再将其还原为一个个符号，进而得到数字信号

  • 眼图-评估码间串扰情况
    • 噪声：导致眼图中的线迹模糊不清
    • 码间串扰：导致“眼睛”张开的更小、眼图不端正

Q：OFDM需要脉冲成形吗？-整体进行脉冲成形

OFDM use a pulse shaping filter or not?

在 OFDM 系统中，如果没有经过脉冲成形，调整后的信号本质上可以看作是方波信号。由于 OFDM 的基本原理是将数据分配到多个子载波上，这些子载波在时间域上可能会产生瞬时的“开”与“关”状态，从数学上看，得到的时间域信号会类似于方波。

实际信道带宽有限，这样就会导致传输后信号频谱变形，时域信号失真

解释1：

图片来源：https://i.sstatic.net/a6ROB.png

OFDM将单载波调制转换为N个子载波，每个子载波代表上面蓝色的频谱

在这里，我们看到了 1 MHz 符号率（1 MSymbol/秒）单载波调制的结果，并注意到在绘图范围内，频谱在 5 MHz 偏移时滚降到约 -35 dB。

考虑一下我们是否使用 64 个载波发送相同数量的数据，所有载波的速率均降低 1 MHz/64，并且频率间隔相同（正交载波间隔）。

生成的频谱主要位于 1 MHz 频率范围内，两端的载波对超出该范围的频谱贡献最大，具体来说，我们预计在 5 MHz/64 = 78.125 KHz 偏移时约为 -35 dBc 。

如果没有任何额外的脉冲整形，与上面的红色图（这是单载波脉冲整形波形）不会有太大不同！

如果我们想让频谱变得更紧（收益递减），我们当然可以应用脉冲整形来相应地减少相邻泄漏项，但在这样做的过程中，我们会破坏 OFDM 的一个关键特性，即所有子载波之间的正交性。

考虑使用矩形脉冲的任何单载波 QPSK/QAM 调制的频谱(no further pulse shaping)：频率的 Sinc 函数，每个零点间隔为 1/T 其中T是脉冲持续时间。

当该调制专门用于每个 OFDM 子载波时（通常是这种情况）那么这些空值最终会以每个其他子载波正交为中心-正交！一旦应用任何脉冲整形，零点就会在频域中传播得更宽，从而失去宝贵的正交性特征。

**解释2：**OFDM 本身不使用脉冲整形滤波器。光谱形状是固有的。 有些系统将脉冲整形滤波器应用于 OFDM 信号，但我将其称为“OFDM 加脉冲整形滤波器”，而不仅仅是“OFDM”。